Fuzzy Logic

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© 2003 Andreas Wißmeier, Änderungsstand: 10. Januar 2006 <<--
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Vorteile der Fuzzy Logic insbesondere mit Bezug auf Regelungs/Steuerungssysteme

Grundbegriffe aus der Fuzzy Logic [9]

Fuzzy Menge A : = {(x,yA(x))|x e X}// Dabei ist X die Grundmenge
Übliche Darstellungsform: Karthesisches Koordinatensystem mit x-Achse (Elemente der Grundmenge) y-Achse (Zugehörigkeitsgrade)
Normalisierte Fuzzy Menge: Wenn die Zugehörigkeitsgrade einer Fuzzy Menge alle kleiner oder gleich 1 sind. Jede Fuzzy Menge kann ohne Informationsverlust normalisiert werden. (Durch das Suprenum geteilt!)
 
FuzzyZahlen sind spezielle Fuzzy Mengen die folgenden Bedingungen genügen:

 

Besondere Zugehörigkeitsfunktionen:

(Die Art der Zugehörigkeitsfunktion ist z.B. entscheidend bei der Defuzzifizierung (siehe weiter unten)

Modellbildung mit Hilfe der Fuzzy Logic [9]

Die Terme einer linguistischen Variablen in einem deskriptiven Modelle entsprechen Fuzzy Mengen

Bei der FuzzyModellbildung werden die Terme linguistischer Variablen als Fuzzy Mengen abgebildet

Um Terme linguistischer Variablen konjunktiv miteinander verknüpfen zu können, muss man definieren, wie man Fuzzy Mengen miteinander verknüpft. Das heißt: Definition von Durchschnitt und Vereinigung von Fuzzy Mengen.

Durchschnitt von Fuzzy Mengen:

- Elemente der Grundmengen, die in allen an den Durchschnittsbildung beteiligten Fuzzy Mengen enthalten sind.

- Bei den Zugehörigkeitsgraden wird das Minimum gewählt (bezogen auf dieses Element)

 
 

Vereinigung von Fuzzy Mengen

Komplement von Fuzzy Mengen

What is fuzzy with Fuzzy Logic?

Fuzzyfizerung: Ein Fachexperte muss die Fuzzy Mengen definieren und die FuzzyRegeln aufstellen.

Fuzzy Logic bearbeitet als Werte zwischen 0 und 1 formulierte Unschärfen in einer systematischen Weise mit mathematischen Standardfunktionen.

Die mathematischen Modelle der Fuzzy Logic sind keineswegs fuzzy, sondern

Fuzzy Logic eröffnet die Möglichkeit umgangssprachlich vorliegende Lösungsstrategien in einem mathematisch exakten Kalkül darzustellen. In der Praxis haben sich zur Bescheibung "Wenn-Dann"-Regeln durchgesetzt. Die entstehenden Modelle werden oft erstaunlich kompakt und leicht verständlich.

Die Fuzzy Logic bietet Techniken zur Implementierung deskriptiver Modelle.

Warum verbessern konvexe Zugehörigkeitsfunktionen die Modellierungsgüte?

Sonderkapitel: Mathematische Hintergründe [9]

Einsteinsches Produkt / Summe, Hamacher Produkt / Summe: Kalküle zur Berechnung der Zugehörigkeitsgrade der Ergebnismenge bei einer FuzzyUND/FuzzyODER Verknüpfung

Sonderkapitel: t-Normen (triangulare Normen)

Assiziative, kommutative und monotone Funktionen auf [0,1] x [0,1] mit bestimmten Eigenschaften die z. B. für die Berechnung der Zugehörigkeitsgrade eines Fuzzy-Durchschnittes angewendet werden.

Der MIN-operator erfüllt die Bedingungen der t-norm

Sonderkapitel: t-Conormen oder auch s-Normen genannt sind:

Assiziative, kommutative und monotone Funktionen auf [0,1] x [0,1] mit bestimmten Eigenschaften die z. B. für die Berechnung der Zugehörigkeitsgrade einer Fuzzy-Vereinigung angewendet werden.

 

Establishment of a complete system of Fuzzy Logic: We define the following operations:

  • EMPTY : = A is EMPTY iff for all x, mA(x) = 0.0
  • EQUAL : = A EQUAL B iff for all x mA(x) = mB(x)
  • INTERSECTION : = C = A INTERSECTION B where: mC(x) = MIN(mA(x),mB(x))
  • NOT : = mA´ = 1 - mA
  • UNION : = C = A INTERSECTION B where: mC(x) = MAX(mA(x),mB(x))
  • CONTAINMENT : = A CONTAINED IN B iff mA <= mB for all x

Fuzzifizierung

Zuordnung zu vordefinierten Fuzzy Mengen

bei der Fuzzyfizierung werden Eingangsgrößen Zugehörigkeitsgrade aus den Fuzzy Mengen zugeordnet

 

Fuzzy Inferenz

Wichtige Begriffe in diesem Zusammenhang:

Es müssen zwei Dinge betrachtet werden.

Für diese Fragestellungen gibt es in der Literatur mehrere Ansätze, wichtige davon sind

MAXMIN - Inferenz Aus den Regelgewichten wird das Maximum gebildet und für die Minimumbildung mit der Zugehörigkeitsfunktion der Ausgangsvariable verwendet

MAXPROD - Inferenz Aus den Regelgewichten wird das Maximum gebildet und für die Produktbildung mit der Zugehörigkeitsfunktion der Ausgangsvariable verwendet

Technische Vorgehensweise:

  1. Regeln mit Aufzählungen von mehreren Ausgangsvariablen werden in n Regeln aufgeteilt
  2. Gruppierung der Regeln die die gleiche Ausgangsvariable haben
  3. Innerhalb dieser Gruppen sortieren nach Regeln, die die gleichen Terme haben

 

 

Man bildet in beiden Fällen, das Maximum der Regelgewichte, deren Konklusion den gleichen Term besitzt.

Weitere Vorgehensweise MAXMIN:

Man bestimmt dann das Minimum aus den Zugehörigkeitsgraden der Fuzzy Menge in der Regelkonklusion und dem zuvor ermittelten Maximum der Zugehörigkeitsgrade aus den Prämissen.

Das Ergebnis je Regelgruppe ist eine neue Fuzzy Menge. Sie beinhaltet die Elemente der Fuzzy Menge, die in den Konklusionen verwendet wurde, mit den nach obiger Vorschrift neu ermittelten Zugehörigkeitsgraden.

Dann muss das Gesamtergebnis aus allen Regeln gebildet werden: Gesamtergebnis ist Aggregation der Gruppenergebnisse

Weitere Vorgehensweise MAXPROD:

Hier wird die Fuzzy Menge der Konklusion mit dem Regelgewicht (Gruppengewicht) multipliziert.

Das Ergebnis (je Regelgruppe) ist eine neue Fuzzy Menge

Fläche unter dem Zugehörigkeitsgraphen der Fuzzy Menge

Das Ergebnis einer FuzzyInferenz ist eine Fuzzy Menge oder anschaulich eine Fläche unter dem Zugehörigkeitsgraphen der Fuzzy Menge

Defuzzyfizierung

Aus einer Fuzzy Menge muss ein exakter Wert konstruiert werden. Das Ergebnis der Defuzzyfizierung ist eine Reelle Zahl oder eine "crisp number"

Zwei bekannte Spielarten der Defuzzyfizierung sind:

Maximum-Methode (versagt völlig, wenn z.B.die Zugehörigkeitsfunktion monoton steigend gegen einen Grenzwert ist)

Center of Gravity Methode (Schwerpunkt der Fläche unter der Zugehörigkeitsfunktion wird als die repräsentative defuzzifizierte Zahl verwendet)

Fuzzy Logic and Probability Theory [1]

The fuzzy-terminology states: Janes degree of membership within the set of old people is 0.8

The probabilistic approach: There is an 80% chance that Jane is old.

This view supposes that Jane is or is not old, still caught in the law of the Excluded Middle

 

Wann wird empfohlen Fuzzy Control Systeme einzusetzen

Wann wird empfohlen Fuzzy Control Systeme nicht einzusetzen

Wie ist bei der Erstellung eines Regelungssystems mit Fuzzy Logic vorzugehen? [9]

Es sind folgende Punkte zu beachten:

  1. Beschreibung des Systems, was sind die steuerbaren Eingangsgrößen, was sind die messbaren Kenngrößen, Ausgabewerte des Systems; welche Werte charakterisieren den Zustand des Systems
  2. Fuzzyfizierung: es werden den technischen Größen Zugehörigkeitsgrade zu Fuzzy Mengen zugeordnet. Die Fuzzy Mengen werden aufgrund der Terme der linguistischen Variablen, die das System umgangssprachlich beschreiben von einem Experten des Anwendungsfachgebietes definiert.
  3. Regeln: Es werden FuzzyRegeln gebildet, die ein deskriptives Modell der zur Regelung des Systems darstellen.
  4. Anwendung der Regeln auf vorliegende fuzzyfizierte Größen des Systems; Bestimmung welche Inferenzmethode (max/min, max/prod) zu Einsatz kommen soll
  5. Defuzzyfizierung: Bestimmung welche Methode zum Einsatz kommen soll (centerOfgravity, maximum,...)

 

Schritt 1) Formulierung der Aufgabenstellung; Beschreibugn der Einganggrößen, Ausgangsgrößen (Stellgrößen), ... Ziel, Aufgabe des Systems

Schritt 2) Beschreibung des "Deskriptiven Modells": Wie ist bei bestimmten Eingangsgrößen die Stellgröße zu verändern, dazu sind Regeln zu formulieren

Hilfsmittel bei Formulierung des deskriptiven Modells:

Verwendung einer Tabelle mit den den Eingangsgrößen (im einfachen Fall 2) als Zeilen bzw. Spalten.

Die Eingangsgrößen sind die linguistischen Variablen, die Terme sind Spaltenbeschreibung, Zeilenbeschreibung

In jedem Kästchen steht die Aktion (Einwirkung auf die Stellgröße) die gelten soll. (In der Regel geht man von einer UND-Verknüpfung der Zeilen und Spalten aus)

  Temperatur steigt bleibt gleich sinkt
zu warm stark kühlen kühlen nichts tun
ok kühlen nichts tun heizen
zu kalt heizen heizen stark heizen

Schritt 3) Festlegung der Zugehörigkeitsfunktionen. Zunächst untersucht man, welche Wertebereiche die Werte der Eingangs- und Ausgangsgrößen annehmen können (Universe of Discourse/Numbers)

Einen ersten Ansatz für die Erstellung der Zugehörigkeitsfunktionen hat man, indem man Triangularfunktionen über den Messbereich legt. Triangularfunktionen sind Polygonzüge die dreickförmig verlaufen.(Siehe auch stetige oder konvexe Funktionen)

Schritt 4) Festlegung der Inferenz-Methode

Schritt 5) Festlegung der Defuzzyfizierungs-Methode

 

Fuzzy Logic am Beispiel einer Steuerung einer Solaranlage

Wichtige Größen:

Eingangsgrößen:

  1. Temperatur am Solarkollektor
  2. Temperatur am Wärmespeicher unten
  3. Temperatur am Wärmespeicher oben
  4. Temperaturdifferenz zwischen Vorlauf und Rücklauf zum Solarkollektor
  5. Existiert steigender Bedarf oder eher sinkender Bedarf nach Wärme?
  6. Tageszeit, Jahreszeit

Ausgangsgrößen (Stellgrößen):

  1. Start des Brennwertkessels, Stopp des Brennwertkessels
  2. Drehzahl der Solarpumpe (Ausgangsvariable, oder Stellgröße des Systems)

 

 

Quellenangaben:

Buchtitel oder Link (Datum des letzten Besuchs)
Beschreibung
[1] http://www.austinlinks.com/Fuzzy/tutorial.html

(29. Oktober 2003)

Geht auch auf den Unterschied zur Wahrscheinlichkeitsrechnung ein
[2]http://www.vectorsite.net/ttfuzzy.html

(30. Oktober 2003)

Anschauliche Darstellung der Fuzzy Inferenz
Dieser Link existiert möglicherweise nicht mehr (Albrecht Müller)
[3]http://www-2.cs.cmu.edu/Groups/AI/html/faqs/ai/fuzzy/part1/faq-doc-0.html

(31. Oktober 2003)

Diese FAQs sind ca. 10 Jahre alt. (Albrecht Müller)
[4]http://www.seattlerobotics.org/encoder/mar98/fuz/flindex.html

(30. Oktober 2003)

Erklärt die praktische Anwendbarkeit sehr gut

[5]http://developer.intel.com/design/mcs96/designex/2351.htm

(30. Oktober 2003)

Erläutert ein Beispiel
[6] http://www.iau.dtu.dk/~jj/pubs/logic.pdf

(30. Oktober 2003)

Tutorial On Fuzzy Logic: Jan Jantzen
Gute Einführung insbesondere der theoretischen Grundlagen
[7]http://www.aaai.org/AITopics/html/fuzzy.html

(30. Oktober 2003)

Gute Sammlung von Dokumenten, führt zu weiteren Links

[8]http://www.flll.uni-linz.ac.at/index.html

(31. Oktober 2003)

Die Fuzzy Logik Seiten der Universität Linz. (Albrecht Müller)
[9]Einführung in die Fuzzy Logic der FernUniversität Hagen

Computer Based Training

Das Gros der Texte entstammt dem sehr zu empfehlenden Kurs der Fernuniversität Hagen von Prof. Gunter Schlageter